MATEMÁTICAS DISCRETAS: PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

A QUI SE MUESTRAN ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS RELACIONES, TODAS OBTENIDAS DE LA PAGINA WIKIPEDIA.

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

Propiedad reflexiva

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

\forall a \in A : \; (a,a) \in R

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

\nexists a \in A : \; (a,a) \notin R

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

Propiedad irreflexiva

Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

\forall a \in A : \; (a,a) \notin R

Que también puede expresarse

\nexists a \in A : \; (a,a) \in R

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

Propiedad simétrica

Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

\nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \notin R

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

Propiedad antisimétrica

Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

\forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a = b

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a

\nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \quad \land \quad a \ne b

Propiedad transitiva

Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entoncesa esta relacionado con c:

\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad (a,c) \in R

(WIKIPEDIA, 2014)

WIKIPEDIA. (07 de MAYO de 2014). Relación binaria. Recuperado el 21 de MAYO de 2014, de Relación binaria: http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#Propiedades_de_las_relaciones_binarias_homog.C3.A9nea

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miércoles, 21 de mayo de 2014

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES